首先，当形容一个人，一件事情，一种情况的性质时，我们通常使用「楽しい」，而不使用「嬉しい」。比如：

狭いながらも楽しいわが家

我狭小但却快乐的家

这里的「楽しい」是用来形容「わが家」的性质的，我家是开心的快乐的家。

楽しい映画が大好き。

我特别喜欢快乐的电影。

这里的「楽しい」是形容「映画」的性质，我喜欢的是快乐的电影，可能是喜剧，或者是看着心情愉悦，看了会高兴的电影。

像这样，形容某人、某物、某事的性质是快乐的，这时我们不用「嬉しい」，而是使用「楽しい」。

接下来，当我们想要表达因为某事当时感到开心感到高兴，我们通常会用「嬉しい」。比如：

大学院入学試験に合格した！うれしい。

通过了研究生入学考试！真开心。

这句话是在表达因为通过了研究生入学考试，说话人当时感到很高兴的心情。

友達のリーさんが元気にしていると知って、嬉しい。

得知朋友リー过得不错，我很开心。

这句话是在表达说话人因为得知好朋友リー过得不错，当时感到很开心。

总结一下，「嬉しい」倾向于表达因为某种场合，或者某种情况，说话人当时感到很高兴的心情。

与之相对，「楽しい」更多时候是当说话人高兴的心情持续较长一段时间的时候使用。比如：

昨日のパーティーは楽しかった。

昨天的派对真开心。

这是说话人表达“派对”整个过程都觉得很开心很高兴的心情。

留学時代は本当に楽しかった。

留学时代真的很快乐。

这是说话人在叙述留学时代整个阶段都觉得很快乐。

比起「嬉しい」用于因为某种情况说话人当时觉得开心，「楽しい」形容的开心快乐等持续的时间明显要更长，更多时候我们用「楽しい」去形容某一活动、某一阶段说话人整个过程都感到开心快乐的情况。